Что такое математика?

Этот пост вдохновлен занятным обсуждением у Лёни Посицельского. Сам он делает воистину замечательный вывод: "Таким образом, математика не является чем бы то ни было".

В моем личном восприятии, к математике ближе всего архитектура (популярное сравнение с музыкой я как-то хуже воспринимаю). Лень перечислять многочисленные очевидные параллели, скажу только, что впервые это сходство я остро ощутил в школьные годы при изучении метода математической индукции. Ситуация была примерно такой - предположим, тебя просят (впервые в жизни) доказать, что сумма ряда из обратных квадратов не превосходит 2. Доказать с помощью индукции по n, что сумма первых n членов этого ряда не превосходит 2, ясное дело, невозможно. Но если сообразить, что имеет место более сильное утверждение, что сумма первых n членов не превосходит 2 - 1/n, то по индукции сразу всё получается. (Если не ошибаюсь, Пойа в книжке "Как решать задачу" называет это явление "парадоксом изобретателя".) Таким образом, чтобы индукция заработала, нужно понять "правильное" утверждение, то есть добиться некоторой гармонии и соразмерности деталей (того, что ты предполагаешь на каждом шагу индукции, и хочешь доказать на следующем). И вот еще с тех лет мне кажется, что этот процесс совершенно сродни тому, с чем сталкивается архитектор, определяя пропорции возводимого им сооружения.