Saturday, March 22, 2008

Lockhart's Lament

Here is a nice essay on teaching of math to kids. Leo and Karen, take notice.

15 comments:

kdv2005 said...

Прекрасно написано и очень симпатична позиция. Только не будет так никогда, чтобы математикой в школе занимались только ради удовольствия от самого занятия. Физики, например, все время ворчат, что школьная математика запаздывает и не позволяет толком заниматься физикой в школе. Локхарт, конечно, прав, что то, что есть --- никуда не годится. Но кажется мне, что предлагаемая им замена все-таки хромает на другую ногу.

avzel said...

Kdv: боюсь, что никакой панацеи вообще не существует. Хорошо бы было побольше таких учителей как Локхарт. Но где ж их взять!

kdv2005 said...

Я знаю ответ, но боюсь, что он Вам не понравится: из колледжей.

avzel said...

Мне этот ответ совершенно нравится. Я даже и пытаюсь по мере сил подготовить будущих учителей из наших math majors. Но как же трудно выбить из них то, чем их самих начинили в школе.

misha said...

Статья, конечно ничего, довольно остроумная, и написана неплохо, но слишком категоричная, и от неё, извините, довольно сильно пованивает снобизмом, к сожалению очень популярным среди "чистых" математиков. Автор и "определяет" математику посредством цитаты из Харди, известного сноба, который гордился тем, что его результаты не имели никаких практических приложений. Мне это показалось несколько тошнотворным.

Конечно неприятно, что публика (и правительство) всполошились по поводу ужасного положения с математическим образованием только тогда, когда стало похоже, что экономика от этого может пострадать. Отвратительно, что людей рассматривают как рабочий скот, но бросаться в другую крайность и утверждать, что математика ничего общего с реальностью не имеет -- это тоже не слишком симпатично, это попросту враньё.

Очень часто напоминание, что математика всё-таки кое-что общее с реальностью имеет, может быть полезным. Я как-то раз спросил студентку, которая складывала дроби, складывая их числители и знаменатели, сколько она всего съела бы яблока, если бы она съела сначала одну половину, а потом вторую. Она очень смутилась, и наверное изменила свою точку зрения. Насколько всё-таки сильна идея гомоморфизма, она просто у всех в крови, даже у тех, которые этого слова никогда не слыхали.

Я недавно наткнулся на довольно интересную статью, которая даёт некоторые объяснения плачевной ситуации с образованием в США, и предлагает кое-какие решения. Прочитав её, я лучше понял, почему так много американцев, что касается умения думать, напоминают котят, которым после рождения на несколько недель завязали глаза, и у которых поэтому отдел мозга, от которого зависит зрение, не развился, в результате чего они уже никогда не научились нормально видеть.

avzel said...

Мише: снобизм - вещь в самом деле несимпатичная, но я его в этом тексте не почувствовал. Апология "чистоты" математики, по-моему, здесь выступает как полемически заостренный ответ на недобросовестные попытки заменить честное преподавание математики на фальшивые "приложения к реальной жизни." У меня как-то не вызывает сомнения, что автор не упустит случая проиллюстрировать математическую идею удачным жизненным примером.

В пространном тексте Тоома я, честно говоря, особых откровений не увидел. Да, ситуация с преподаванием математики в большинстве американских школ плачевная, и основной причиной этого является катастрофически низкий уровень подготовки учителей. И Тоом, конечно, прав, что детей надо учить понимать и решать текстовые задачи. Так ли уж при этом важно непременно уделить несколько лет арифметическому решению таких задач без привлечения алгебры, мне менее очевидно, но и, по правде говоря, не кажется таким уж принципиальным вопросом.

misha said...

Андрею: А чем плохи те "приложения к реальной жизни," которые попадают в учебники? Не тем ли, что они так же скучны и и примитивны, как и "чисто математические" упражнения, построенные по шаблону, а их решение не требует почти никаких мыслительных способностей, а только некоторой дисциплины, нужной для следования инструкциям? Наверное автор и в самом деле неплохой учитель, который знает математику и может заинтересовать ею учеников. Но ученики должны научиться решать не только задачи, уже сформулированные математически, но и усматривать математику в задачах из других предметов и из "реальной жизни," поэтому текстовые задачи очень важны. Об этом ещё Пойа (Polya) писал в своих книжках. Он говорил, что если мы свели задачу к математике, то можно посоветоваться с математиком, так что умение переформулировать задачу математически более важно, чем умение решить эту математическую задачу. Поэтому напирать на "чистоту" математики, в особенности в школе, не очень разумно. Гораздо разумнее уделять больше внимания взаимодействию математики с другими преметами, как при изучении математики, так и при изучении других предметов, попытаться скоординировать программу. Это и как полемический приём работает неважно. И вообще мне (да и не только мне) кажется, что "чистота," столь часто искусственная, очень сильно портит математику, затрудняет её изучение, и фактически мешает её развитию.

Если к безграмотности учителей прибавить ещё низкое качество учебников и стандартизированные тэсты, от результатов которых зависит получение школьного диплома и приём в колледжи, то мы и получим наблюдаемые явления, т.е. бездумное натаскивание на быстрое решение тривиальных задачек, которое совсем не способствует пониманию математики или развитию интереса к ней, как и вообще умственному развитию учеников. Беда ещё в том, что рутинные выкладки, которым уделялось основное внимание в школе, уже давно автоматизировны, а посредственные учителя с чисто формальным знанием математики почти ничему кроме этих выкладок учить не могут. Стандартизированная программа, когда учат, например, только алгебре, потом только геометрии, потом только тригонометрии, потом только дифференцированию, потом только интегрированию, конечно тоже не особенно помагает, мягко говоря. Это всё равно, что кормить человека месяц одними макаронами, потом две недели одним сыром и ещё две недели томатным соусом. Не особенно вкусно и не особенно полезно. В том, что школьную математику (да и часть институтской) превратили в полный хлам, с Локхартом можно согласиться. Я в последние 10 лет много думал насчёт calculus, которое заработало себе совршенно ужасную репутацию, и кое-что
придумал, посмотрите, может понравится.

Привлекать ли алгебру к решению текстовых задач? Текстовые задачи полезны тем, что они заставляют учеников применять математику к нематиматическим объектам, да и вообще думать. Поскольку алгебра автоматизирует многие процессы решения задач, то слишком раннее введение алгебры может повредить развитию мыслительных способностей. Если и вводить алгебру раньше, то нужно и задачи переработать, чтобы они были достаточно замысловатыми и при алгебраическом решении. Я думаю, что ученикам, которые никогда не пытались решать задачи арифметически, алгебру оценить и освоить гораздо труднее, чем тем, которые решили достаточно текстовых задач арифметически.

misha said...

Дополнительные замечания на MAA

avzel said...

Миша, спасибо за интересную ссылку. И прошу прощения, что я не ответил на ваше длинное послание. Но я не имею ни достаточной энергии, ни, по правде говоря, достаточного интереса к конкретной методике массового школьного преподавания математики, для того, чтобы всерьез участвовать в обсуждении этих тем. Мне симпатичен дух эссе Локарта, и кажется, что было бы отлично, если бы на университетском уровне удавалось бы готовить больше будущих учителей, воспринимающих этот дух. А уж методику они тогда как-нибудь приспособят.

misha said...

Жалко, что нет энергии и интереса... Кто же напишет новые учебники и задачники, кто поможет учителям? Верно, что от методики мало прока, когда учителя практически не знают математики и не умеют решать задач. Но и хорошая методика не может появиться из одного духа, её нужно разрабарывать, и неплохо было бы, если бы достаточно серьёзные математики приняли бы в этом более активное участие. Например, неплохо было бы подумать о том, как упростить изложение, не жертвуя при этом математикой, как сделать её более доступной, более понятной, разобраться в чём суть дела, что плоезно внутри математики и для приложений, а что является лишь данью временной математической моде. Это достаточно интересно и с математической точки зрения, и касается не только школьной математики.

Например, чтобы упростить calculus, мне пришлось почти полностью переосмыслить этот предмет. При этом оказалось, что на дифференцирование гораздо естественнее смореть как на разложение на множители, обобщающее делимость многочлена p(x)-p(a) на x-a, как это, кстати, и делал Вейерштрасс. Всё сводится тогда к равномерной оценке типа

|f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)| &le K(x-a)^2,

а практически весь предмет можно изложить в виде серии задач, впоне доступных школьникам, освоившим алгебру и геометрию. При этом возможно сразу заняться дифференцированием, интегрированием и решением дифференциальных уравнений, а к общим понятиям непрерывности, пределам и вещественным числами перейти позже, когда понятно, зачем они нужны, а для чего не нужны.

Мне кажется, что такой подход к предмету был бы более полезен для будущих учителей, инженеров, да и для математиков тоже. Кстати, Ваш коллега недавно написал книжку по анализу в похожем стиле, а один китаец написал и про calculus, вот заметки, резюмирующие его
подход.

Я согласен, что обсуждать эту тему на блоге довольно утомительно, легче было бы встретиться и поговорить, если есть настроение, я ведь тоже в Бостоне живу.

avzel said...

Миша, я понимаю, что преподавание калькулюса - дело важное, но, к сожалению, у меня нет никакой возможности втягиваться в обсуждение этой темы, ни на блоге, ни вне его. Извините, ради бога, слишком много других дел. Почему бы вам не поговорить об этом с моим коллегой Марком Бриджером, взгляды которого на этот вопрос по-видимому близки к вашим?

misha said...
This comment has been removed by the author.
misha said...

Спасибо за сочувствие, с Марком я разговаривал, правда давно. Он мне пару недель назад e-mail прислал, что перечитывал какие-то мои старые заметки, которые ему понравились.

Одна была про то, как посмотреть на вещестевенные числа, как бесконечные десятичные дроби, и как можно понимать пределы последовательностей и доказать полноту, используя округление, более знакомое публике, чем "для каждого эпсилон существует N..."

Другая была про бесконечно малые Лейбница-Робинсона, как они появляются, когда мы хотим избавиться от делителей нуля в кольце вещественных последовательностей, факторизуя по какому-нибудь максимальному идеалу, естественно связанному с ультрафильтром, и как это похоже на метод Кантора построения вещественных чисел из последовательностей Коши рациональных чисел, где, правда, только один максимальный идеал. Я её даже в
Википедию засунул.

С тех пор я в значительной степени потерял интерес к этим философски-мифологическим понятиям, которые не слишком важны, если работать с равномерными оценками, которые наиболее полезны для практических приложений и вычислений.

Когда я писал эти послания, я надеялся, что Вы, как человек влиятельный, могли бы помочь спихнуть calculus с мертвой точки, на которой оно уже больше 100 лет стоит и ржавеет, несмотря на попытки применения компьютеров при обучении. Было бы замечательно организовать какие-нибудь экспериментальные курсы, например, в NEU, в основном для инженеров и учителей, и попробовать новые подходы. Хотя начинать, видимо, более разумно со школьников, но здесь проблема в том, что они ужасно пропитаны духом стандартизированных тэстов. Мнда, ситуация неважная... Здесь, конечно, люди типа Локхарта могли бы помочь, но их очень мало... Надо бы действительно с Бриджером поговорить, хотя он собирается на пенсию, и нянчить внуков, конечно, гораздо интереснее, чем биться лбом в бюрократические стенки. Может ещё кто заинтересуется, например, среди ваших знакомых, и не только математиков.

Прошу прощения, что опять отнимаю время, отвечать не обязательно.

Vagston said...

Здрасьте! Я придумал план короткого эффективного вводного курса в прикладную математику для неподготовленных заинтересованных людей:

1. Понятие представления (representation)
2. Понятие кодирования
3. Требования к знакам: отличать один от другого, уметь определять
одинаковость, отделять один от другого (в смысле, рядом написанные)
4. Дедуктивный аппарат, теории
5. Интерпретация теорий, константы
6. Переменные, возникновение переменных как интеграция уровня
метности в пропкалке, отличие переменных от констант; кванторы
подстановка, occurs check
7. Здравость, полнота, непротиворечивость
8. Proof Theory
9. Model Theory
10. Что такое существование
11. Что такое истина
12. Искусство доказательства

Что скажете о такой программке?

avzel said...

Vagston: я не занимаюсь ни прикладной математикой, ни ее преподаванием, так что не в силах прокомментировать Вашу программу.